Cam clay

Modifikovaný Cam clay model je klasickým reprezentantem modelů kritického stavu založených na teorii plasticity. Jeho hlavní vlastnosti jsou obdobné jako vlastnosti hypoplastického modelu pro jemnozrnné zeminy. Na rozdíl od tohoto modelu však modifikovaný Cam clay model rozlišuje mezi elastickou a plastickou složkou přetvoření a umožňuje tak při MKP výpočtech vizualizovat plastické oblasti. Na druhou stranu, aktivaci plastického chování tohoto modelu doprovází skokový pokles tuhosti a nikoliv její postupné snížení, jak jej predikuje hypoplastický model.

Modifikovaný model Cam clay zohledňuje následující vlastnosti zemin:

• Tuhost a pevnost závisí na aktuální hodnotě efektivního napětí \(\boldsymbol{\sigma}\)
• Tuhost a pevnost závisí na aktuální míře ulehlosti charakterizované číslem pórovitosti \(e\)
• Tuhost závisí na směru zatěžování (přitěžování / odtěžování)

Materiálové parametry

Model zahrnuje pět materiálových parametrů, které jsou konstantní pro všechny přípustné stavy zeminy, a stavovou proměnnou, která se vyvíjí v závislosti na zatěžovací historii. V tomto smyslu se modifikovaný model Cam clay principiálně liší od tradičních materiálových modelů typu Mohr-Coulomb, které používají různé hodnoty materiálových parametrů pro stejnou zeminu lišící se pouze mírou ulehlosti. Modifikovaný model Cam clay zavádí pět materiálových parametrů:

• \(e_{0}\) - Pozice linie normálního stlačení
• \(\lambda\) - Sklon linie normálního stlačení
• \(\kappa\) - Sklon linie odtížení a opětovného přitížení
• \(M_{cs}\) - Sklon linie kritického stavu
• \(\nu\) - Poissonovo číslo

a jednu stavovou proměnnou - překonsolidační napětí \(p_{c}\).

Parametry \(e_{0}\) a \(\lambda\)

Parametry \(e_{0}\) a \(\lambda\) určují pozici a sklon linie izotropního stlačení (NCL) v prostoru \(\ln(\sigma_m)\times e\), jak je patrné z Obrázku 1 (hypoplastický model pro jemnozrnné zeminy používá obdobný diagram definovaný v prostoru \(\ln(\sigma_m)\times\ln(1+e)\)). Linie normální izotropní komprese udává teoretickou mechanickou odezvu materiálu při izotropním stlačení v odvodněných podmínkách. Jelikož uvažujeme objemově nestlačitelná zrna zeminy, je výsledné objemové přetvoření připsáno pouze zmenšení objemu pórů a tedy čísla pórovitosti.

Obrázek 1: Linie normálního izotropního stlačení a linie odtížení uvažovaná ve formulaci modifikovaného modelu Cam clay

Parametr \(\kappa\)

Parametr \(\kappa\) určuje sklon linie odtížení a opětovného přitížení vykreslené v prostoru \(\ln(\sigma_m)\times e\), jak ilustruje Obrázek 1. Na rozdíl od linie normální izotropní komprese NCL, jejíž umístění ve svislém směru určuje konstantní parametr \(e_0\). Pozice linie odtížení a opětovného přitížení závisí na předchozím maximálním napětí označovaným jako překonsolidační napětí \(p_{c}\).

Parametr \(M_{cs}\)

Parametr \(M_{cs}\) odpovídá sklonu linie kritického stavu vykreslené v prostoru \(\sigma_m \times J\), viz Obrázek 2.

Obrázek 2: Plocha plasticity modifikovaného modelu Cam clay

Sklon \(M_{cs}\) je vypočten z hodnoty kritického úhlu vnitřního tření \(\varphi_{c}\) pomocí rovnice \begin{equation} M_{cs} = \frac{2\sqrt{3}\sin\varphi_{c}}{3-\sin\varphi_{c}} \label{eq:Mcs} \end{equation}

Parametr \(\nu\)

Parametr \(\nu\) je Poissonovo číslo známé z obecného Hookeova zákonu. Určuje poměr mezi radiálním a axiálním elastickým přetvořením při jednoosém zatížením a taktéž ovlivňuje poměr mezi napěťově závislým objemovým modulem a smykovým modulem.

Překonsolidační napětí \(p_{c}\)

Model zavádí jednu stavovou proměnnou - překonsolidační napětí \(p_{c}\). Pro izotropní stlačení překonsolidační napětí odpovídá maximálnímu efektivnímu střednímu napětí \(-\sigma_{m}^{eff}\), kterému byla zemina vystavena. Mechanizmus modelu je patrný z Obrázku 1: Vzorek zeminy v počátečním stavu \(a\) (mající číslo pórovitosti \(e^{a}\) a překonsolidační napětí \(p_{c}^{a}\)) je zatížen izotropně tlakovým středním napětím \(-\sigma_{m}^{eff} = p_{c}^{a}\). Přetvoření doprovázející toto zatížení je nelineárně elastické - když by z tohoto stavu byla zemina odtížena, vrátí ze po \(\kappa\)-linii zpět do stavu s číslem pórovitosti \(e = e_{a}\) a nevznikne žádná trvalá deformace. Pokud je však zemina zatížena za bod \(p_{c}^{a}\) číslo pórovitosti se vyvíjí podle \(\lambda\)-linie. V průběhu tohoto zatěžování narůstá jak elastické tak plastické přetvoření. Když je vzorek zeminy odtížen z bodu \(-\sigma_{m}^{eff}=p_{c}^{b}\), číslo pórovitosti se vyvíjí podle nové \(\kappa\)-linie definované novou hodnotou překonsolidačního napětí \(p_{c}=p_{c}^{b}\). Jak je patrné z počátečního a konečného stavu (po odtížení), hodnota čísla pórovitosti \(e_{a}>e_{b}\) ukazuje, že došlo k trvalému (plastickému) přetvoření.